11111. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что AB=AD
, BC+DC=AC=1
, \angle BAD=60^{\circ}
. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Пусть при повороте на угол 60^{\circ}
вокруг вершины A
, переводящем вершину D
в B
, вершина C
переходит в некоторую точку C_{1}
. Тогда сторона DC
переходит в отрезок BC_{1}
, поэтому BC_{1}=DC
. Значит,
BC+BC_{1}=BC+DC=AC=1,
а так как \angle CAC_{1}=60^{\circ}
, то треугольник CAC_{1}
равносторонний, поэтому CC_{1}=1
. Таким образом, BC+BC_{1}=CC_{1}
, значит, точки C
, B
и C_{1}
лежат на одной прямой, причём точка B
— между C
и C_{1}
.
Из равенства треугольников ABC_{1}
и ADC
следует, что четырёхугольник ABCD
равновелик равностороннему треугольнику CAC_{1}
, поэтому
S_{ABCD}=S_{\triangle CAC_{1}}=\frac{AC^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}.