11112. Даны выпуклый четырёхугольник ABCD
и точка O
внутри него. Известно, что \angle AOB=\angle COD=90^{\circ}
, OA=OB
, OC=OD
. Пусть точки K
, L
и M
— середины отрезков AB
, BC
и CD
соответственно. Докажите, что треугольник KLM
равнобедренный и прямоугольный.
Решение. При повороте на угол 90^{\circ}
вокруг точки O
, переводящем вершину A
в B
, вершина C
переходит в D
, поэтому диагональ AC
переходит в диагональ BD
. Значит, отрезки AC
и BD
равны и перпендикулярны. Следовательно, равны и перпендикулярны отрезки KL
и MN
(как средние линии треугольников ABC
и BCD
). Что и требовалось доказать.