11131. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон BC
, CA
, AB
в точках A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
соответственно. Прямые, содержащие высоты треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, проведённые из вершин A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, вторично пересекают окружность в точках A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
соответственно. Докажите, что прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть A_{1}A_{3}
, B_{1}B_{3}
, C_{1}C_{3}
— высоты треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, H
— его ортоцентр. Тогда A_{3}
, B_{3}
, C_{3}
— середины отрезков A_{2}H
, B_{2}H
, C_{2}H
соответственно, поэтому A_{3}B_{3}
, A_{3}C_{3}
, B_{3}C_{3}
— средние линии треугольников A_{3}HB_{3}
, A_{3}HC_{3}
, B_{3}HC_{3}
соответственно (см. задачу 4785). Значит, стороны треугольника A_{3}B_{3}C_{3}
соответственно параллельны сторонам треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
.
Кроме того, стороны треугольника A_{3}B_{3}C_{3}
соответственно параллельны сторонам треугольника ABC
(см. задачу 700), поэтому стороны треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
соответственно параллельны сторонам треугольника ABC
. Значит, существует гомотетия, при которой треугольник ABC
переходит в треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
(см. задачу 5000). При этой гомотетии точка A
переходит в точку A_{2}
, точка B
— в B_{2}
, C
— в C_{2}
. Следовательно, прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
пересекаются в центре гомотетии.