1114. Из середины гипотенузы восставлен перпендикуляр до пересечения с катетом, и полученная точка соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 2:5
(меньшая часть — при гипотенузе). Найдите этот угол.
Ответ. 70^{\circ}
.
Указание. Используйте свойство серединного перпендикуляра к отрезку.
Решение. Пусть M
— середина гипотенузы AB
, K
— точка пересечения указанного перпендикуляра с катетом BC
, \alpha
— искомый угол CAB
. Тогда
\angle KAB=\frac{2}{7}\alpha,~\angle CBA=\angle KAB=\frac{2}{7}\alpha
(так как треугольник AKB
— равнобедренный).
Поскольку
\angle CBA+\angle CAB=90^{\circ},
то
\frac{2}{7}\alpha+\alpha=90^{\circ}.
Отсюда находим, что \alpha=70^{\circ}
.