11145. Точка M
— середина дуги BAC
описанной окружности треугольника ABC
, MC_{1}
и MB_{1}
— перпендикуляры, опущенные из точки M
на прямые AB
и AC
соответственно. Докажите, что прямая B_{1}C_{1}
проходит через середину N
стороны BC
.
Решение. Точка M
— середина дуги BAC
, а точка N
— середина хорды BC
, поэтому прямая MN
— серединный перпендикуляр к стороне BC
. Следовательно, точки B_{1}
, C_{1}
и N
лежат на одной прямой — прямой Симсона треугольника ABC
и точки M
(см. задачу 83), т. е. середина N
стороны BC
лежит на прямой B_{1}C_{1}
. Что и требовалось доказать.