11174. Диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
, вписанного в окружность, пересекаются в точке P
. Известно, что расстояния от точки P
до сторон AB
, BC
, CD
, DA
равны 4, \sqrt{3}
, \frac{8}{\sqrt{19}}
и 8\sqrt{\frac{3}{19}}
соответственно (основания перпендикуляров, опущенных из точки P
на стороны, лежат на этих сторонах).
а) Найдите отношение AP:PC
.
б) Найдите длину диагонали BD
, если дополнительно известно, что AC=10
.
Ответ. а) AP:PC=4
, б) BD=\frac{35}{\sqrt{19}}
Решение. а) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, поэтому
\angle PBC=\angle PAD,~\angle PCB=\angle PDA.
Следовательно, треугольники PBC
и PDA
подобны. Аналогично доказывается, что подобны треугольник ABP
и DCP
. Соответствующие элементы подобных фигур относятся как коэффициент подобия. В данном случае в качестве соответствующих элементов выступают высоты, проведённые из вершины P
. Отсюда находим, что коэффициент подобия равен k_{1}=\frac{\sqrt{19}}{8}
для первой пары и k_{2}=\frac{\sqrt{19}}{2}
для второй пары.
Пусть AP=8x
. Тогда
BP=AP\cdot k_{1}=x\sqrt{19},~CP=\frac{BP}{k_{2}}=2x,~DP=\frac{AP}{k_{2}}=\frac{16x}{\sqrt{19}}.
Значит,
AP:PC=8x:2x=4:1.
б) Если AC=10
, то
8x+2x=10,~x=1.
Следовательно,
BD=BP+DP=\frac{35}{\sqrt{19}}.