11179. К двум окружностям проведены общие внешние касательные, одна из которых касается окружностей в точках A
и B
. Бильярдный шар, выпущенный из точки A
, отразился от второй касательной и попал в точку B
. Докажите, что хорды, высекаемые его траекторией на окружностях, равны.
Решение. Для равных окружностей утверждение очевидно, поэтому будем считать, что касательные пересекаются в точке C
.
Пусть B'
— точка, симметричная точке B
, относительно второй касательной; K
— точка пересечения AB'
со второй касательной. Тогда шар, отразившись от второй касательной в точке K
, попадёт в точку B
.
Пусть также O
и r
— центр и радиус окружности, проходящей через точку A
; O_{1}
и r_{1}
— центр и радиус окружности, симметричной второй окружности относительно прямой CK
; AM
и BN
— хорды, о которых говорится в условии, N'
— точка, симметричная точке N
относительно прямой CK
.
Пусть также прямая, проходящая через точку A
, касается окружности с центром O_{1}
в точке P
, прямая, проходящая через точку B'
, касается окружности с центром O
в точке Q
, а \angle ACK=2\alpha
.
По теореме о касательной и секущей
AP^{2}=AB'\cdot AN'=AB'(AM+MN'),~B'Q^{2}=AB'\cdot B'M=AB'(B'N'+MN'),
значит,
AM=B'N'=BN~\Leftrightarrow~AP^{2}=B'Q^{2}.
Из прямоугольных треугольников APO_{1}
, CB'O_{1}
и по теореме косинусов из треугольника ACO_{1}
получаем, что
AP^{2}=AO_{1}^{2}-r_{1}^{2}=(AC^{2}+CO_{1}^{2}-2AC\cdot CO_{1}^{2}\cos3\alpha)-r_{1}^{2}=
=AC^{2}+(CO_{1}^{2}-r_{1}^{2})-2AC\cdot\frac{B'C}{\cos\alpha}\cdot\cos3\alpha=AC^{2}+CB'^{2}-\frac{2AC\cdot CB'\cos3\alpha}{\cos\alpha}=
=AC^{2}+CB^{2}-\frac{2AC\cdot CB\cos3\alpha}{\cos\alpha}.
Из прямоугольных треугольников B'QO
, CAO
и по теореме косинусов из треугольника B'OC
получаем, что
B'Q^{2}=B'O^{2}-r^{2}=(B'C^{2}+OC^{2}-2B'C\cdot OC\cos3\alpha)-r^{2}=
=(OC^{2}-r^{2})+CB^{2}-2CB\cdot\frac{AC}{\cos\alpha}\cdot\cos3\alpha=AC^{2}+CB^{2}-\frac{2AC\cdot CB\cos3\alpha}{\cos\alpha}=
=AC^{2}+CB^{2}-\frac{2AC\cdot CB\cos3\alpha}{\cos\alpha}=AP^{2}.
Что и требовалось.