11182. Каждую вершину выпуклого четырёхугольника Q
отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Полученные точки являются вершинами четырёхугольника Q'
.
а) Докажите, что если Q
— трапеция, то Q'
также является трапецией.
б) Докажите, что отношение площади Q'
к площади Q
меньше 3.
Решение. Пусть ABCD
— исходный четырёхугольник, и пусть при отражении получаются точки A'
, B'
, C'
и D'
. Тогда отрезки BD
и B'D'
симметричны относительно прямой AC
, поэтому они равны и пересекаются на прямой AC
, а именно, в точке O
пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
(см. рисунок). Кроме того, \frac{BO}{OD}=\frac{B'O}{OD'}
. Аналогично, AC=A'C'
, AC
проходит через точку O
и \frac{CO}{OA}=\frac{C'O}{OA'}
.
а) Если ABCD
— трапеция с основаниями AD
и BC
, то
\frac{BC}{AD}=\frac{BO}{OD}=\frac{CO}{OA}=k
из подобия треугольников AOD
и COB
. Поэтому
\frac{B'O}{OD'}=\frac{BO}{OD}=\frac{CO}{OA}=\frac{C'O}{OA'},
следовательно, треугольники A'OD'
и C'OB'
также подобны. Из их подобия получаем, что B'C'\parallel A'D'
. Кроме того, заметим, что \frac{B'C'}{A'D'}=k=\frac{BC}{AD}
, значит, Q'
— не параллелограмм, если Q'
не параллелограмм.
б) Пусть меньший угол между диагоналями был равен \alpha
, \alpha\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right]
. Тогда после отражения один из углов между диагоналями становится равным либо 3\alpha
, либо 3\alpha-\pi
, поэтому отношение площадей равно
\frac{S'}{S}=\frac{A'C'\cdot B'D'\cdot|\sin3\alpha|}{AC\cdot BD\cdot\sin\alpha}=\frac{|\sin3\alpha|}{\sin\alpha}=\frac{|3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha|}{\sin\alpha}=|3-4\sin^{2}\alpha|.
Но \sin^{2}\alpha\in(0;1]
, следовательно, 3-4\sin^{2}\alpha\in[-1;3)
, и
\frac{S'}{S}=|3-4\sin^{2}\alpha|\lt3.