11184. Одна из проекций точки D
на стороны треугольника ABC
является серединой отрезка между двумя другими. Докажите, что одна из проекций точки C
на стороны треугольника ABD
также является серединой отрезка между двумя другими.
Решение. Поскольку проекции точки D
на стороны прямые BC
. AC
и AB
лежат на одной прямой, точки A
, B
, C
, D
лежат на одной окружности (см. задачу 6088).
Пусть для определённости четырёхугольник ABCD
выпуклый, и A'
, B'
, C'
— проекции точки D
на прямые BC
, AC
и AB
соответственно. Четырёхугольник A'DB'C
вписанный, поэтому A'B'=CD\sin ACB
(см. задачу 23). Аналогично, B'C'=AD\sin BAC
. Следовательно, условие A'B'=B'C'
равносильно условию AB\cdot CD=AD\cdot BC
. Отсюда сразу вытекает утверждение задачи.