11189. Середина отрезка, соединяющего середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, лежит на диагонали четырёхугольника. Докажите, что эта диагональ проходит через середину другой диагонали.
Решение. Пусть AC
— диагональ, M
и N
— середины сторон AB
и CD
, K
— точка пересечения AC
и MN
. Достаточно показать, что площадь треугольника ABC
равна площади треугольника ACD
, так как тогда высоты этих треугольников, опущенные на общую сторону AC
, будут равны, т. е. точки B
и D
будут равноудалены от прямой AC
, а значит, AC
разделит отрезок BD
пополам.
Площадь треугольника ACM
равна площади треугольника ACN
, так как диагональ MN
четырёхугольника AMCN
делится другой его диагональю пополам. Но CM
и AN
— медианы треугольников ABC
и ACD
. Значит, площади треугольников ABC
и ACD
тоже равны.