11207. В четырёхугольнике ABCD
диагонали пересекаются в точке O
. Известно,что
S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}=\frac{3}{2},~BC=3\sqrt{2},~\cos\angle ADC=\frac{3}{\sqrt{10}}.
Найдите синус угла между диагоналями этого четырёхугольника, если его площадь принимает наименьшее возможное значение при данных условиях.
Ответ. \frac{6}{\sqrt{37}}
.
Решение. Из равенства площадей треугольников AOB
и COD
следует, что BC\parallel AD
(см. задачу 4190), значит, треугольник AOD
подобен треугольнику COB
. Пусть коэффициент подобия равен k
. Тогда \frac{AO}{OB}=\frac{DO}{OB}=k
, поэтому (см. задачу 3000)
S_{\triangle AOD}=\frac{DO}{OB}S_{\triangle AOB}=k\cdot\frac{3}{2}.
Аналогично, S_{\triangle BOC}=\frac{1}{k}\cdot\frac{3}{2}
. Значит,
S_{ABCD}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle COD}+S_{\triangle AOD}+S_{\triangle BOC}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+k\cdot\frac{3}{2}+\frac{1}{k}\cdot\frac{3}{2}=
=3+\frac{3}{2}\left(k+\frac{1}{k}\right)\geqslant3+\frac{3}{2}\cdot2=6
(так как при всех положительных k
верно неравенство k+\frac{1}{k}\geqslant2
), причём равенство достигается при k=1
. В этом случае треугольники AOD
и COB
равны, четырёхугольник ABCD
— параллелограмм (его противоположные стороны AD
и BC
равны и параллельны), а его площадь равна 6.
Из равенства S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\angle ABC
находим, что
AB=\frac{2S_{\triangle ABC}}{BC\sin\angle ABC}=\frac{2\cdot3}{3\sqrt{2}\cdot\sqrt{1-\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^{2}}}=\frac{6}{3\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}}=2\sqrt{5}.
По теореме косинусов
AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos\angle ABC}=
=\sqrt{20+18-2\cdot2\sqrt{5}\cdot3\sqrt{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}}=\sqrt{38-36}=\sqrt{2},
BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}-2AB\cdot AD\cos(180^{\circ}-\angle ABC)}=
=\sqrt{20+18+2\cdot2\sqrt{5}\cdot3\sqrt{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}}=\sqrt{38+36}=\sqrt{74}.
Пусть угол между диагоналями четырёхугольника равен \alpha
. Из равенства S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha
(см. задачу 3018) находим, что
\sin\alpha=\frac{2S_{ABCD}}{AC\cdot BD}=\frac{12}{AC\cdot BD}=\frac{2\cdot6}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{74}}=\frac{6}{\sqrt{37}}.