11215. На боковых сторонах AB
и AC
равнобедренного треугольника ABC
нашлись такие точки D
и E
, что AD=BC=EC
и треугольник ADE
равнобедренный. Каким может быть угол при вершине A
?
Ответ. Если AD=AE
, то \angle A=2\arctg\frac{1}{4}
;
если AE=DE
, то \angle A=36^{\circ}
;
если AD=DE
, то \angle A=20^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
.
Предположим, что AD=AE=EC=BC
(рис. 1). Тогда DE
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому AD=BC=2DE
, а так как DE
— основание равнобедренного треугольника ADE
, то
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{1}{2}DE}{AD}=\frac{\frac{1}{2}DE}{2DE}=\frac{1}{4}.
Пусть AE=DE
и AD=BC=EC
(рис. 2). Тогда
\angle ADE=\angle DAE=\alpha,~BD=AB-AD=AC-CE=AE=DE,
т. е. треугольник BDE
равнобедренный с основанием BE
. По теореме о внешнем угле треугольника получаем, что
\angle DBE=\angle DEB=\frac{\alpha}{2}.
Из равнобедренных треугольников ABC
и BCE
получаем, что
\angle ABC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},~\angle CBE=90^{\circ}-\frac{1}{2}\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=45^{\circ}+\frac{\alpha}{4},
а так как
\angle ABC=\angle DBE+\angle CBE,
то
90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2}+\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{4}\right),~\mbox{или}~\frac{5}{4}\alpha=45^{\circ},
откуда \alpha=36^{\circ}
.
Наконец, пусть AD=DE
и AD=BC=EC
. Достроим треугольник BDE
до параллелограмма DBFE
и докажем, что треугольник BCF
равносторонний. Действительно,
\angle CEF=\angle CAB=\alpha,~CE=AD=DE,~
EF=BD=AB-AD=AC-CE=AE.
Значит, треугольник EFC
равен равнобедренному треугольнику ADE
(по двум сторонам и углу между ними). Тогда
BF=DE=CF=CE=BC,\angle CFE=\angle DAE=\alpha,
т. е. треугольник BCF
равносторонний, а так как по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BFE=\angle BDE=\alpha+\alpha=2\alpha,
то
\angle BFC=60^{\circ}=\angle BFE+\angle CFE,~\mbox{или}~60^{\circ}=2\alpha+\alpha,
откуда находим, что \alpha=20^{\circ}
.
Примечание. В последней части этого рассуждения, записывая равенство \angle BFC=\angle BFE+\angle CFE
, мы неявно воспользовались тем, что треугольники ABC
и BCF
лежат по разные стороны от прямой DC
и луч FE
проходит между сторонами угла BFC
. Но если бы точка F
оказалась над основанием BC
, то точно так же мы имели бы равенство
3\alpha=\angle BFE+\angle CFE=360^{\circ}-\angle BFC=300^{\circ},
откуда \alpha=100^{\circ}
, что невозможно, так как угол при основании равнобедренного треугольника не может быть тупым. (Впрочем, и этот случай можно включить в рассмотрение, если разрешить точкам D
и E
находиться на продолжениях сторон треугольника, рис. 4.)