11218. Биссектриса угла A
треугольника ABC
пересекает сторону BC
в точке L
, а описанную окружность треугольника — в точке N
(отличной от A
); K
и M
— основания перпендикуляров, опущенных из точки L
на стороны AB
и AC
. Докажите, что четырёхугольник AKNM
равновелик треугольнику ABC
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\alpha.
Прямоугольные треугольники ALM
и ALK
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому AM=AK
и LM=LK
. Значит, AL
— серединный перпендикуляр к отрезку KM
. Тогда (см. задачу 3018)
S_{AKNM}=\frac{1}{2}AN\cdot KM.
Таким образом, достаточно доказать, что
AB\cdot AC\sin\alpha=AN\cdot KM.
Поскольку \angle CAL=\angle BAN
и \angle ACL=\angle ANB
(вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу), треугольники ACL
и ANB
подобны по двум углам. Значит,
\frac{AB}{AN}=\frac{AL}{AC},~\mbox{или}~AB\cdot AC=AN\cdot AL.
Кроме того, поскольку \angle AKL=\angle AML=90^{\circ}
, точки K
и M
лежат на окружности с диаметром AL
. По теореме синусов KM=AL\sin\alpha
, следовательно,
AB\cdot AC\sin\alpha=AN\cdot AL\sin\alpha=AN\cdot KM.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также статью И.А.Кушнира «Семейство формул Лагранжа», Квант, 2011, N2, с.40.