11221. На стороне AC
треугольника ABC
во внешнюю сторону построен параллелограмм ACDE
. Пусть O
— точка пересечения его диагоналей, N
и K
— середины сторон BC
и BA
соответственно. Докажите, что прямые DK
, EN
и BO
пересекаются в одной точке.
Решение. Первый способ. Рассмотрим треугольник ABD
. Заметим, что отрезки BO
и DK
— его медианы, а значит, пересекаются в такой точке X
, что BX:XO=2:1
. Рассмотрим теперь треугольник CBE
и его медианы BO
и EN
. Рассуждая аналогично, получим,что они пересекаются в точке, которая делит отрезок BO
в отношении 2:1
, считая от вершины B
, т. е. в точке X
. Следовательно, прямые DK
, EN
и BO
пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Заметим, что стороны треугольника OKN
являются средними линиями треугольников DAB
, ABC
и BEC
, а значит, они параллельны сторонам треугольника BDE
. Следовательно, треугольники OKN
и BDE
гомотетичны (см. задачу 5000), поэтому прямые DK
, EN
и BO
пересекаются в центре гомотетии.
Примечание. Возможно также решение, использующее векторы или теорему Менелая.