11241. Дан отрезок a
и правильный треугольник со стороной b
. Постройте внутри этого треугольника правильный треугольник со стороной a
, что бы вершины внешнего треугольника лежали на продолжениях сторон внутреннего.
Решение. Пусть K
— вершина меньшего треугольника, которую нужно построить внутри данного треугольника ABC
со стороной b
. Построим центр O
описанной окружности треугольника ABC
(рис. 1). Далее можно действовать по-разному.
Первый способ. Построим описанную окружность треугольника AOC
и окружность с центром O
, равную описанной окружности правильного треугольника со стороной a
(рис. 2). Отметим на их пересечении точку K
. Тогда
\angle AKC=\angle AOC=120^{\circ}.
Построим правильный треугольник с центром O
и вершиной K
. Он будет искомым.
Второй способ. Точку K
можно получить также из следующих соображений. В треугольнике ACK
нам известны \angle K=120^{\circ}
, сторона AC=b
, разность сторон AK-KC=a
(если исходить из предположения, что мы строим конструкцию, переходящую в себя при повороте вокруг точки O
на угол 120^{\circ}
). Далее см. задачу 2495.
Третий способ. Построим окружность с центром O
, равную вписанной окружности правильного треугольника со стороной a
, проведём к ней касательные из точек A
, B
и C
(рис. 3). Т.к. они переходят одна в другую при повороте треугольника вокруг точки O
на 120^{\circ}
, то в пересечении они образуют правильный треугольник.
Четвёртый способ. Построим где-то в стороне правильный треугольник со стороной a
и его центр I
(рис. 4). Построим окружность с центром I
, равную описанной окружности треугольника ABC
. Отметим её пересечения с продолжениями сторон. Т.к. конструкция переходит в себя при повороте вокруг точки I
на 120^{\circ}
, то эти точки будут вершинами правильного треугольника, причём равного треугольнику ABC
. Итак, мы построили то, что нужно, но не внутри треугольника ABC
, а внутри треугольника, равного ABC
. Теперь, откладывая уже известные углы и отрезки, можно построить то же самое внутри треугольника ABC
.