11244. Две прямые, проведённые через одну и другую точки пересечения продолжений противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, разрезают его на четыре меньших четырёхугольника. Докажите, что если в два из них, не имеющие общие стороны, можно вписать окружности, то и в исходный четырёхугольник можно вписать окружность.
Решение. Пусть ABCD
— данный четырёхугольник, E
— точка пересечения продолжений сторон AB
и CD
, F
— точка пересечения продолжений сторон AD
и BC
, точка B
лежит между A
и E
, точка D
— между A
и F
.
Известно, что в четырёхугольник ABCD
можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий (см. задачи 1348 и 1349):
EB+FB=ED+FD,~EA+FC=EC+FA.
Пусть O
— точка пересечения прямых, разрезающих данный четырёхугольник ABCD
. Если окружности можно вписать в четырёхугольники при вершинах B
и D
, то
EB+FB=EO+FO=ED+FD.
Следовательно, в четырёхугольник ABCD
можно вписать окружность.
Аналогично для четырёхугольников при вершинах A
и C
.