11248. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки плоскости до трёх вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвёртой вершины.
Решение. Пусть, для определённости, MA
— наибольшее из расстояний от точки M
до вершин равнобедренной трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
. По неравенству треугольника
MA\leqslant AC+MC~\mbox{и}~BD\leqslant MB+MD,
причём для любой точки M
хотя бы одно из этих неравенств строгое. Складывая неравенства и учитывая, что диагонали AC
и BD
равнобедренной трапеции равны, получаем, что
MA\leqslant MB+BC+MD.
Примечание. Это решение имеет красивую геометрическую интерпретацию: прикладывая друг к другу треугольники AMC
и BMD
так, чтобы их равные стороны AC
и BD
совместились, мы получаем четырёхугольник (см. рис.). Утверждение задачи сводится к тому, каждая его сторона меньше суммы остальных (см. задачу 1783). Это утверждение выполняется когда один или оба треугольника AMC
вырождаются в отрезок.