11250. Через вершину A
треугольника ABC
проведите прямую так, чтобы сумма расстояний до этой прямой от вершин B
и C
была наибольшей.
Решение. Рассмотрим случай, когда искомая прямая l
не пересекает сторону BC
. Достроим треугольник ABC
до параллелограмма ABEC
. Через точку E
проведём прямую l'
, параллельную l
. Из симметрии относительно центра D
параллелограмма ABEC
следует, что расстояние от точки B
до прямой l
равно расстоянию от вершины C
до прямой l'
.
Пусть прямая, проведённая через точку C
перпендикулярно прямой l
, пересекает прямые l
и l'
в точках X
и Y
соответственно. Тогда сумма d_{1}
расстояний, о которой говорится в условии, равна длине отрезка XY
. При этом XY\leqslant AE
, причём равенство достигается в случае, когда прямая l
перпендикулярна медиане AD
треугольника ABC
.
Если же искомая прямая l
пересекает сторону BC
, то соответствующая сумма d_{1}
не больше длины стороны BC
, причём d_{1}=BC
, если прямая l
перпендикулярна BC
.
Осталось сравнить d_{1}
и d_{2}
.
Если угол BAC
острый, то медиана AD
больше половины стороны BC
, к которой она проведена (см. задачу 3550), значит,
d_{1}=2AD\gt2\cdot\frac{1}{2}BC=BC=d_{2}.
Следовательно, в этом случае наибольшая сумма равна d_{1}
.
Если угол BAC
тупой, то медиана AD
меньше стороны BC
, значит,
d_{1}=2AD\lt2\cdot\frac{1}{2}BC=BC=d_{2}.
Следовательно, наибольшая сумма равна d_{2}
.
Если угол BAC
прямой, то наибольшее значение рассматриваемой суммы достигается для двух прямых l_{1}
и l_{2}
, проходящих через вершину A
перпендикулярно соответственно прямым BC
и AD
.
Примечание. См. статью Э.Г.Готмана «Правильное решение геометрической задачи», Квант, 1987, N5, с.50-54.