11251. Докажите что если четырёхугольник вписан в окружность, то произведение расстояний от точки, лежащей на окружности, до прямых, содержащих две противоположные стороны, равно произведению расстояний от этой точки до прямых, содержащих две другие стороны, а также равно произведению расстояний до прямых, содержащих диагонали четырёхугольника.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение. Произведение двух сторон треугольника равно произведению диаметра описанной окружности на высоту, проведённую к третьей стороне.
Действительно, пусть стороны треугольника равны x
, y
и z
, радиус описанной окружности равен R
, высота, опущенная на сторону, равную z
, равна h_{z}
, а площадь треугольника равна S
. Тогда (см. задачу 4259)
R=\frac{xyz}{4S}=xy\cdot\frac{z}{4\cdot\frac{1}{2}zh_{z}}=\frac{xy}{2h_{z}}.
Следовательно, xy=2Rh_{z}
. Что и требовалось доказать.
Пусть точка M
лежит на окружности радиуса R
, описанной около четырёхугольника ABCD
. Обозначим расстояния от точки M
до прямых AB
, BC
, CD
, AD
, AC
и BD
через a
, b
, c
, d
, e
и f
соответственно. Тогда высоты треугольников AMB
, BMC
, CMD
, AMD
, AMC
и BMD
, проведённые из общей вершины M
, равны a
, b
, c
, d
, e
и f
соответственно. Значит, по доказанному,
MA\cdot MB=2Ra,~MB\cdot MC=2Rb,~MC\cdot MD=2Rc,~MD\cdot MA=2Rd,
MA\cdot MC=2Re,~MB\cdot MD=2Rf.
тогда, перемножив первое из этих равенств на третье, а второе на четвёртое, получим, что
MA\cdot MB\cdot MC\cdot MD=4R^{2}ac~\mbox{и}~MB\cdot MC\cdot MD\cdot MA=4R^{2}bd,
откуда 4R^{2}ac=4R^{2}bd
. Следовательно, ac=bd
. Аналогично, ac=ef
.
Примечание. См. статью Д.Терёшина «Вписанный четырёхугольник», Квант, 1992, N2, с.37-39.