11257. В прямоугольном треугольнике ABC
проведена высота CD
из вершины прямого угла. Точки I
, I_{1}
и I_{2}
— центры вписанных окружностей треугольников ABC
, ADC
и BDC
, а L
, M
и K
соответственно — точки касания этих окружностей с гипотенузой AB
. Докажите, что треугольники I_{1}LM
и LI_{2}K
: а) подобны треугольнику ABC
; б) равны.
Решение. Поскольку LI_{1}\parallel BC
и LI_{2}\parallel AC
(см. пункт в) задачи 11252), то \angle MLI_{1}=\angle ABC
и \angle KLI_{2}=\angle BAC
.
а) Значит, каждый из двух указанных в условии прямоугольных треугольников подобен треугольнику ABC
по двум углам.
б) Поскольку LI_{1}=LI_{2}
(см. пункт г) задачи 11252), то треугольники I_{1}LM
и LI_{2}K
равны по гипотенузе и острому углу.
Примечание. См. статью Л.Д.Курляндчика «Прямоугольный треугольник», Квант, 1989, N3, с.56-58.