11268. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF
равны углы A
, C
и E
, а также равны углы B
, D
и F
. Известно что биссектрисы углов A
, C
и E
пересекаются в одной точке. Докажите, что биссектрисы углов B
, D
и F
также пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть I
— точка пересечения биссектрис углов A
, C
и E
; K
— точка пересечения прямых AB
и CD
, L
— точка пересечения прямых CD
и EF
, M
— точка пересечения прямых EF
и AB
.
Сумма углов шестиугольника ABCDEF
равна 180^{\circ}(6-2)=720^{\circ}
, поэтому
\angle B+\angle C=\frac{720^{\circ}}{3}=240^{\circ}.
Значит, \angle K=\angle BKC=60^{\circ}
. Аналогично, \angle L=\angle M=60^{\circ}
. Следовательно, треугольник KLM
равносторонний. Аналогично, треугольник PQR
с вершинами в точках пересечения прямых BC
и DE
, DE
и AF
, AF
и BC
также равносторонний.
Пусть биссектрисы углов A
, C
и E
данного шестиугольника пересекаются в точке I
. Эта точка равноудалена от прямых AB
и AF
, от прямых BC
и CD
, от прямых DE
и EF
, Значит, сумма расстояний от неё до сторон KL
, LM
и MK
треугольника KLM
равна сумме расстояний до прямых PQ
, QR
и PR
треугольника PQR
. Известно, что сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри равностороннего треугольника, равна высоте треугольника (см. задачу 4024), а равносторонние треугольники с равными высотами равны. Значит, треугольник PQR
равен треугольнику KLM
.
Пусть J
— точка пересечения биссектрис углов B
и D
данного шестиугольника. Эта точка равноудалена от прямых AB
и BC
, а также от прямых CD
и DE
, значит, сумма расстояний от точки J
до сторон PQ
и PR
треугольника PQR
равна сумме расстояний от этой точки до сторон KM
и KL
треугольника KLM
. Следовательно, оставшиеся расстояния от точки J
до сторон QR
и ML
(т. е. до прямых AF
и EF
) также равны. Таким образом, точка J
лежит на биссектрисе угла F
данного шестиугольника. Отсюда следует утверждение задачи.