11274. В треугольнике ABC
отрезки CM
и BN
— медианы, P
и Q
— точки на AB
и AC
соответственно, причём биссектриса угла C
треугольника одновременно является биссектрисой угла NBQ
, а биссектриса угла B
— биссектрисой угла NBQ
. Верно ли, что треугольник ABC
равнобедренный, если: а) BP=CQ
; б) AP=AQ
; в) PQ\parallel BC
?
Ответ. а) Да; б) нет; в) да.
Решение. Пусть AM
и AS
— соответственно медиана и симедиана треугольника ABC
со сторонами AC=b
и AB=c
. Тогда по теореме Штейнера \frac{BS}{SC}=\frac{c^{2}}{b^{2}}
(см. задачу 4121)
а) Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. Поскольку BQ
и CP
— симедианы,
\frac{BP}{AP}=\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{BP}{c-BP}~\Rightarrow~BP=\frac{a^{2}c}{a^{2}c+b^{2}}.
Аналогично, CQ=\frac{a^{2}b}{a^{2}+c^{2}}
. Значит,
BP=CQ~\Leftrightarrow~\frac{a^{2}c}{a^{2}c+b^{2}}=\frac{a^{2}b}{a^{2}+c^{2}}~\Leftrightarrow~b^{3}+a^{2}b=c^{3}+a^{2}c.
Функция f(x)=x^{3}+a^{2}x
возрастает на всей числовой прямой (f'(x)=3x^{2}+a^{2}\geqslant0
для всех x
), поэтому из равенства b^{3}+a^{2}b=c^{3}+a^{2}c
следует, что b=c
, т. е. треугольник ABC
равнобедренный.
Равенство b=c
можно доказать по-другому:
b^{3}+a^{2}b=c^{3}+a^{2}c~\Leftrightarrow~b^{3}-c^{3}=a^{2}(c-b)~\Leftrightarrow~(b-c)(b^{2}+bc+c^{2}+a^{2})=0.
Последнее равенство возможно только при b=c
, так как для всех положительных a
, b
и c
второй сомножитель положителен.
в) Из параллельности PQ
и BC
следует, что \frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}
, или \frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{c^{2}}{a^{2}}
. Значит, b=c
, т. е. треугольник ABC
равнобедренный.
б) Из равенств
\frac{BP}{AP}=\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{c-AP}{AP}~\mbox{и}~\frac{CQ}{AQ}=\frac{a^{2}}{c^{2}}=\frac{b-AQ}{AQ}
получаем, что
AP=\frac{b^{2}c}{a^{2}+b^{2}}~\mbox{и}~AQ=\frac{c^{2}b}{a^{2}+c^{2}}.
Тогда
AP=AQ~\Leftrightarrow~\frac{b^{2}c}{a^{2}+b^{2}}=\frac{c^{2}b}{a^{2}+c^{2}}~\Leftrightarrow~ba^{2}+bc^{2}=ca^{2}+cb^{2}~\Leftrightarrow~(b-c)(a^{2}-bc)=0.
Следовательно, для любого неравнобедренного треугольника, стороны которого удовлетворяют условию a^{2}=bc
, верно равенство AP=AQ
(например, для треугольника со сторонами 4, 6, 9).