11279. Из некоторого прямоугольника вырезан равносторонний треугольник так, что одна из его вершин находится в вершине прямоугольника, а две другие лежат на сторонах прямоугольника (не содержащих эту вершину). Докажите, что площадь одного из оставшихся прямоугольных треугольников равна сумме площадей двух других.
Решение. Вершина A
равностороннего треугольника ABC
совпадает с вершиной A
прямоугольника AKLM
, вершина B
лежит на стороне LM
прямоугольника, а вершина C
— на стороне KL
.
Пусть сторона равностороннего треугольника равна 1, а \angle BAM=\alpha
. Тогда
\angle CBL=180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)-60^{\circ}=30^{\circ}+\alpha,
\angle CAK=90^{\circ}-60^{\circ}-\alpha=30^{\circ}-\alpha,
0^{\circ}\lt\alpha\lt30^{\circ}
.
Докажем, что
S_{\triangle ABM}+S_{\triangle CAK}=S_{\triangle CBK},
или
\frac{1}{2}\cos\alpha\sin\alpha+\frac{1}{2}\cos(30^{\circ}-\alpha)\sin(30^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{2}\cos(30^{\circ}+\alpha)\sin(30^{\circ}+\alpha)~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2\cos\alpha\sin\alpha=2(\cos(30^{\circ}+\alpha)\sin(30^{\circ}+\alpha)-\cos(30^{\circ}-\alpha)\sin(30^{\circ}-\alpha))~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\sin2\alpha=\sin(30^{\circ}+\alpha-30^{\circ}+\alpha)~\Leftrightarrow~\sin2\alpha=\sin2\alpha.
Что и требовалось доказать.