11281. Дан равнобедренный треугольник ABC
, где AB=AC
. Предположим, что:
(i) M
— середина BC
, O
— такая точка на прямой AM
, что OB\perp AB
;
(ii) Q
— точка отрезка BC
, отличная от B
и C
;
(iii) точка E
лежит на прямой AB
, точка F
лежит на прямой AC
, и при этом точки E
, Q
и F
различны и лежат на одной прямой.
Докажите, что OQ
и EF
перпендикулярны тогда и только тогда, когда QE=QF
.
Решение. Пусть OQ\perp EF
. Из точек B
и Q
отрезок EO
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром EO
. Аналогично, точки C
и Q
лежат на окружности с диаметром OF
. Тогда
\angle OEQ=\angle OBQ=\angle OCQ=\angle OFQ,
поэтому треугольник EOF
равнобедренный, и QE=QF
.
Обратно, пусть OE=OF
, а OQ
— не перпендикуляр к EF
. Докажем, что тогда QE\ne QF
.
Пусть перпендикуляр, опущенный из точки O
на EF
, пересекает BC
в точке Q'
, а луч AQ'
пересекает отрезок EF
в точке K
. Проведём через эту точку прямую E'F'
, параллельную EF
(точки E'
и F'
лежат на прямых AB
и AC
соответственно). Тогда, по ранее доказанному, Q'
— середина отрезка E'F'
, поэтому K
— середина отрезка EF
(см. задачу 2607). При этом точка K
отлична от Q
, значит, Q
— не середина EF
.