1129. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.
Указание. Воспользуйтесь признаками и свойствами равнобедренного треугольника.
Решение. Если точка M
равноудалена от концов отрезка AB
и не принадлежит этому отрезку, то медиана MC
равнобедренного треугольника AMB
является его высотой, следовательно, MC
— серединный перпендикуляр к отрезку AB
. Для середины отрезка утверждение очевидно.
Обратно, каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку AB
, отличная от его середины, равноудалена от его концов, так как высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой. Для середины отрезка утверждение очевидно.