11292. Дан равнобедренный треугольник ABC
с основанием AC
. Окружность, проходящая через точку A
, касается стороны BC
в точке M
и пересекает сторону AC
в точке N
. Докажите, что AN\gt CM
.
Решение. По теореме о касательной и секущей BM^{2}=BN\cdot AB
, а так как BM\lt BC=AB
, то
BN=\frac{BM^{2}}{AB}=\frac{BM}{AB}\cdot BM\lt BM.
Поскольку AN+BN=BM+CM
и BN\lt BM
, то AN\gt CM
. Что и требовалось доказать.