11296. Пусть полупериметр треугольника равен p
, радиусы вписанной и описанной окружностей равны r
и R
соответственно. Докажите, что
p^{2}+r^{2}\geqslant14rR.
Решение. Пусть стороны треугольника равны a
, b
, c
. Тогда
abc=4rRp~\mbox{и}~ab+bc+ac=p^{2}+r^{2}+4rR.
(см. задачу 11293). Применив эти равенство и известное неравенство
(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geqslant9,
получим, что
9\leqslant(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=
=\frac{2p(ab+ac+bc)}{abc}=\frac{2p(p^{2}+r^{2}+4rR)}{4rRp}=\frac{p^{2}+r^{2}+4rR}{2rR}
Отсюда получаем, что
p^{2}+r^{2}\geqslant14rR.
Примечание. 1. Доказательство неравенства
(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geqslant9
для всех положительных a
, b
и c
.
(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1+1+1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=
=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\geqslant3+2+2+2=9
2. См. также статью В.Дроздова «Неравенства для элементов треугольника», Квант, 2018, N9, с.40.