11297. Пусть полупериметр треугольника равен p
, радиусы вписанной и описанной окружностей равны r
и R
соответственно. Докажите, что
p^{2}\geqslant3r^{2}+12rR.
Решение. Пусть стороны треугольника равны a
, b
, c
. Тогда
ab+bc+ac=p^{2}+r^{2}+4rR.
(см. задачу 11293). Применив это равенство и неравенство
3(ab+bc+ac)\leqslant(a+b+c)^{2},
получим, что
3(p^{2}+r^{2}+4rR)\leqslant4p^{2}.
Отсюда находим, что
p^{2}\geqslant3r^{2}+12rR.
Равенство достигается для равностороннего треугольника.
Примечание. 1. Доказательство неравенства
3(ab+bc+ac)\leqslant(a+b+c)^{2},
для всех a
, b
и c
.
3(ab+bc+ac)\leqslant(a+b+c)^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~3ab+3bc+3ac\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~0\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~0\leqslant2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~0\leqslant(a^{2}-2ab+b^{2})+(b^{2}-2bc+c^{2})+(a^{2}-2ac+c^{2})~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~0\leqslant(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}.
2. Следствие. p^{2}\geqslant27r^{2}
.
Действительно, поскольку R\geqslant2r
(см. задачу 3587), то
p^{2}\geqslant3r^{2}+12rR\geqslant3r^{2}+12r\cdot2r=3r^{2}+24r^{2}=27r^{2}.
Равенство достигается для равностороннего треугольника.
3. См. также статью В.Дроздова «Неравенства для элементов треугольника», Квант, 2018, N9, с.40.