11301. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон BC
, AC
и BC
соответственно. Докажите, что прямая A_{1}I
делит периметр треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
пополам.
Решение. Пусть N
— точка касания вневписанной окружности треугольника ABC
со стороной BC
, N_{1}
— точка пересечения прямой A_{1}I
с отрезком B_{1}C_{1}
. Прямая AN
делит периметр треугольника ABC
пополам (см. задачу 1750). При гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника ABC
и коэффициентом -\frac{1}{2}
треугольник ABC
переходит в треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
, а так как AN\parallel A_{1}I
(см. задачу 6729), то луч AN
переходит в луч A_{1}N_{1}
. Следовательно, луч A_{1}N_{1}
делит периметр треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
пополам.
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.