11307. Сторона BC
треугольника ABC
равна среднему арифметическому сторон AB
и AC
, A_{1}
— середина стороны BC
, I
— центр вписанной окружности, r
— её радиус, Q
— точка пересечения прямой A_{1}I
с высотой AH
. Докажите, что QH=2r
.
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, AH=h_{a}
, p
— полупериметр треугольника ABC
, S
— площадь. Поскольку AQ=r
(см. задачу 802),
\frac{QH}{AQ}=\frac{QH}{r}=\frac{h_{a}-r}{r}=\frac{h_{a}}{r}-1=\frac{\frac{2S}{a}}{\frac{S}{p}}-1=
=\frac{2p}{a}-1=\frac{2p-a}{a}=\frac{b+c}{a}=\frac{2a}{a}=2.
Следовательно, QH=2AQ=2r
.
Примечание. 1. Следствия. В таком треугольнике а) AH=h_{a}=3r
; б) прямые A_{1}I
и GI
(где G
— точка пересечения медиан) делят высоту AH
на три равные части; в) GI\parallel BC
.
Доказательство. в) Пусть K
— проекция точки G
на BC
. Из подобия треугольников A_{1}GK
и A_{1}AH
получаем, что GK=\frac{1}{3}AH=\frac{1}{3}\cdot3r=r=IP
. Следовательно, GI\parallel BC
.
2. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.