11314. Пусть a
, b
и c
— стороны треугольника; \alpha
, \beta
и \gamma
— противолежащие им углы. Докажите, что
\frac{a+b-c}{a+b+c}=\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}.
Решение. Пусть r_{c}
— радиус вневписанной окружности треугольника, касающейся стороны, равной c
, r
— радиус вписанной окружности, p
— полупериметр треугольника. Тогда (см. задачи 4805 и 219)
a+b-c=2(p-c)=2r\ctg\frac{\gamma}{2},~a+b+c=2p=2r_{c}\ctg\frac{\gamma}{2},
а так как
r=\frac{c\sin\frac{\alpha}{2}c\sin\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}},~r_{c}=\frac{c\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}}
(см. задачу 3241), то
\frac{a+b-c}{a+b+c}=\frac{2r\ctg\frac{\gamma}{2}}{2r_{c}\ctg\frac{\gamma}{2}}=\frac{r}{r_{c}}=\frac{\frac{c\sin\frac{\alpha}{2}c\sin\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}}}{\frac{c\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}}}=\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}.