11320. В треугольнике ABC
проведена биссектриса BE
и на стороне BC
взята точка K
так, что \angle AKB=2\angle AEB
. Найдите величину угла AKE
, если \angle AEB=\alpha
.
Ответ. 90^{\circ}-\alpha
.
Решение. Обозначим \angle ABE=\angle CBE=x
. Пусть D
— точка на продолжении стороны AB
за точку A
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle DAC=\angle ABE+\angle AEB=x+\alpha.
Докажем, что AE
— биссектриса угла DAK
. Действительно,
\angle CAK=\angle BAE-\angle BAK=(180^{\circ}-x-\alpha)-(180^{\circ}-2x-2\alpha)=
=x+\alpha=\angle DAC.
Что и требовалось доказать.
Таким образом, E
— точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине A
треугольника ABK
и его внутреннего угла при вершине B
. Значит, KE
— биссектриса внешнего угла при вершине K
этого треугольника (см. задачу 1192), т. е. центр его вневписанной окружности. Следовательно,
\angle AKE=\frac{1}{2}\angle AKC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\alpha)=90^{\circ}-\alpha.