11334. а) Дан параллелограмм ABCD
. Докажите, что величина AX^{2}+CX^{2}-BX^{2}-DX^{2}
не зависит от выбора точки X
.
б) Четырёхугольник ABCD
не является параллелограммом. Докажите, что все точки X
, удовлетворяющие условию AX^{2}+CX^{2}=BX^{2}+DX^{2}
, лежат на одной прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему середины диагоналей.
Решение. Пусть P
и Q
— середины диагоналей соответственно AC
и BD
четырёхугольника ABCD
, X
— произвольная точка. Тогда
PX^{2}=\frac{1}{4}(2AX^{2}+2X^{2}-AC^{2})
(см. задачу 4014), откуда
AX^{2}+CX^{2}=2PX^{2}+\frac{1}{2}AC^{2}.
Аналогично,
BX^{2}+DX^{2}=2QX^{2}+\frac{1}{2}BD^{2}.
Из полученных равенств следует, что
PX^{2}-QX^{2}=\frac{1}{2}(AX^{2}+CX^{2}-BX^{2}-DX^{2})+\frac{1}{4}(AC^{2}-BD^{2}).\eqno(*)
б) Если ABCD
— не параллелограмм, т. е. точки P
и Q
различны, и при этом
AX^{2}+CX^{2}-BX^{2}-DX^{2}=0,
то
PX^{2}-QX^{2}=\frac{1}{4}(AC^{2}-BD^{2}).
Следовательно, ГМТ таких точек X
— прямая, перпендикулярная PQ
(см. задачу 2445).
а) Если же ABCD
— параллелограмм, то точки P
и Q
совпадают, значит, из равенства (*)
следует, что
AX^{2}+CX^{2}-BX^{2}-DX^{2}=\frac{1}{2}(AC^{2}-BD^{2}),
т. е. для данного параллелограмма величина AX^{2}+CX^{2}-BX^{2}-DX^{2}
одна и та же для любой точки X
.
Примечание. Если ABCD
— прямоугольник, то он параллелограмм и при этом AC=BD
, поэтому для любой точки X
верно равенство
AX^{2}+CX^{2}=BX^{2}+DX^{2},
сумма квадратов расстояний от произвольной точки до противоположных вершин прямоугольника одна и та же (см. задачу 2169).