11341. Через точку, лежащую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонами. Площади трёх получившихся при этом треугольников равны a
, b
и c
, а площади параллелограммов, противолежащих этим треугольникам, равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно (см. рисунок). Докажите, что
\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\geqslant\frac{3}{2}.
Решение. Из равенств
\alpha=2\sqrt{bc},~\beta=2\sqrt{ac},~\gamma=2\sqrt{ac}
(см. задачу 3029), следует, что
\frac{a}{\alpha}=\frac{a}{2\sqrt{bc}},~\frac{b}{\alpha}=\frac{b}{2\sqrt{ac}},~\frac{c}{\alpha}=\frac{c}{2\sqrt{ab}}.
Значит,
\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}=\frac{a}{2\sqrt{bc}}+\frac{b}{2\sqrt{ac}}+\frac{c}{2\sqrt{ab}}=
=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{\sqrt{bc}}+\frac{b}{\sqrt{ac}}+\frac{c}{\sqrt{ab}}\right)\geqslant\frac{1}{2}\cdot3\sqrt[{3}]{{\frac{a}{\sqrt{bc}}\cdot\frac{b}{\sqrt{ac}}\cdot\frac{c}{\sqrt{ab}}}}\geqslant\frac{3}{2}\sqrt[{3}]{{\frac{abc}{abc}}}=\frac{3}{2}.