11343. Из точки A
проведены касательные AB
и AC
к окружности (B
и C
— точки касания). Через середину D
(меньшей) дуги BC
проведена касательная, пересекающая отрезки AB
и AC
в точках M
и N
соответственно. Докажите, что S_{\triangle BCD}\lt2S_{\triangle MAN}
.
Решение. Пусть луч AD
пересекает хорду BC
в точке H
. Точка D
— середина меньшей дуги BC
, поэтому D
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
(см. задачу 362). Значит (см. задачу 1509),
\frac{AD}{DH}=\frac{AB}{BH}\gt1~\Rightarrow~\frac{AD}{AH}\gt\frac{1}{2}.
Тогда из подобия треугольников MAN
и BAC
следует, что
\frac{MN}{BC}=\frac{AD}{AH}\gt\frac{1}{2}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle MAN}}{S_{\triangle BCD}}=\frac{\frac{1}{2}MN\cdot AD}{\frac{1}{2}BC\cdot DH}=\frac{MN}{BC}\cdot\frac{AD}{DH}\gt1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
S_{\triangle BCD}\lt2S_{\triangle MAN}
.