11344. Продолжения биссектрис треугольника ABC
пересекают его описанную окружность в точках A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
. Докажите, что S_{\triangle ABC}:S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=2r:R
, где r
и R
— радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей.
Решение. Пусть биссектрисы углов A
, B
и C
пересекают описанную окружность треугольника ABC
в точках A_{1}
, B_{1}
, и C_{1}
. Обозначим через \alpha
, \beta
и \gamma
углы треугольника при вершинах A
, B
и C
соответственно. Тогда
\angle B_{1}A_{1}C_{1}=\angle B_{1}A_{1}A+\angle C_{1}A_{1}A=\angle B_{1}BA+\angle C_{1}CA=\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}=\frac{\beta+\gamma}{2}.
Аналогично,
\angle A_{1}B_{1}C_{1}=\frac{\alpha+\gamma}{2},~\angle A_{1}C_{1}B_{1}=\frac{\alpha+\beta}{2}.
Значит (см. задачу 4258),
S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=2R^{2}\sin\frac{\beta+\gamma}2\sin\frac{\alpha+\gamma}{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}=
=2R^{2}\sin\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)\sin\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=
=2R^{2}\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}=2R^{2}\cdot\frac{p}{4R}=\frac{pR}{2}=\frac{\frac{S_{\triangle ABC}}{r}\cdot R}{2}=\frac{S_{\triangle ABC}R}{2r},
где p
— полупериметр треугольника ABC
(см. задачи 3225 и 452). Отсюда получаем, что
\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}}=\frac{2r}{R}.