11347. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
, а противолежащие им углы равны \alpha
, \beta
и \gamma
. Докажите, что если \ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{b+c}{a}
, то треугольник прямоугольный.
Решение. Пусть углы, противолежащие сторонам, равным b
и c
, равны \beta
и \gamma
соответственно. Тогда
\frac{b+c}{a}=\frac{\cos\frac{\beta-\gamma}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}
(см. задачу 11346), поэтому
\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{\cos\frac{\beta-\gamma}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}~\Rightarrow~\cos\frac{\alpha}{2}=\cos\frac{\beta-\gamma}{2}.
Значит, либо \alpha=\beta-\gamma
, либо -\alpha=\beta-\gamma
. В первом случае \beta=\alpha+\gamma
, т. е. \beta=90^{\circ}
, во втором — \gamma=\alpha+\beta
, т. е. \gamma=90^{\circ}
.