11349. Два различных параллелограмма ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с соответственно параллельными сторонами вписаны в четырёхугольник PQRS
(точки A
и A_{1}
лежат на стороне PQ
, точки B
и B_{1}
— на стороне QR
и т. д.). Докажите, что диагонали четырёхугольника параллельны сторонам параллелограммов.
Решение. Будем считать, что AB\gt A_{1}B_{1}
. Пусть параллельном переносе на вектор \overrightarrow{CB}
точки S
, C_{1}
и D_{1}
переходят в точки S'
, C_{1}'
и D_{1}'
соответственно. Точка D
переходит в A
, поэтому ADSS'
— параллелограмм, значит, S'A\parallel SP
и S'A=SD
, а так как S'D_{1}'\parallel SD_{1}\parallel PS
, то точка D_{1}'
лежит на отрезке S'A
. При этом S'D_{1}'=SD_{1}
.
Из параллельности AB
и A_{1}B_{1}
получаем, что
QA_{1}:QA=A_{1}B_{1}:AB=C_{1}D_{1}:CD=SD_{1}:SD=S'D_{1}':S'A,
значит, A_{1}D_{1}'\parallel QS'
. При этом точка D_{1}'
лежит на прямой A_{1}D_{1}
, так как и D_{1}D_{1}'
, и D_{1}A_{1}
параллельны BC
. Кроме того, точка S'
лежит на прямой QS
, так как и SS'
и A_{1}D_{1}
параллельны BC
. Следовательно, B_{1}C_{1}\parallel A_{1}D_{1}\parallel QS
.
Аналогично, A_{1}B_{1}\parallel C_{1}D_{1}\parallel CD
.