11352. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AK
и CM
. Докажите, что если AB\gt BC
, то AM\gt MK\gt KC
.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BM}{MA}=\frac{BC}{AC},~\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC},
поэтому
\frac{BM}{MA}=\frac{BC}{AC}\lt\frac{AB}{AC}=\frac{BK}{KC}.
Значит,
\frac{AB}{MA}=\frac{AM+BM}{MA}=1+\frac{BM}{MA}\lt1+\frac{BK}{KC}=\frac{KC+BK}{KC}=\frac{BC}{KC}.
Тогда точка M
удалена на большее расстояние от прямой AC
, чем точка K
. Следовательно,
\angle AKM\gt\angle KAC=\angle KAM~\mbox{и}~\angle KMC\lt\angle MCA=\angle MCK.
Поскольку в треугольниках AMK
и CMK
против большего угла треугольника лежит большая сторона (см. задачу 3499),
AM\gt MK,~MK\gt KC.
Что и требовалось доказать.