11358. Внутри данного треугольника ABC
найдите такую точку O
, что площади треугольников BOL
, COM
и AON
равны (точки L
, M
и N
лежат на сторонах AB
, BC
и AC
соответственно, причём OL\parallel BC
, OM\parallel AC
и ON\parallel AB
).
Ответ. O
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.
Решение. Пусть прямые MO
, NO
и LO
пересекают стороны AB
, BC
и AC
в точках P
, Q
и R
соответственно. Четырёхугольник ANOP
параллелограмм, поэтому
S_{\triangle AOP}=S_{\triangle AON}=S_{\triangle BOL},
а так как высоты равновеликих треугольников AOP
и BOL
, проведённые из общей вершины O
, равны, то равны и основания AP
и BL
. Аналогично, BQ=CM
и CR=AN
.
Обозначим AP=BL=a
. Тогда
OQ=BL=a,~ON=AP=a,
так как BLOQ
и ANOP
— параллелограммы. Поскольку OQ=ON
, точка O
— середина основания NQ
трапеции ABQN
, а так как C
— точка пересечения продолжений боковых сторон AN
и BQ
этой трапеции, то прямая CO
пересекает основание AB
в его середине (см. задачу 1513). Значит, точка O
лежит на медиане треугольника ABC
, проведённой из вершины C
. Аналогично, точка O
лежит на двух других медианах этого треугольника, т. е. O
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.