11359. Точка O
лежит внутри треугольника ABC
. Три прямые, проведённые через середины отрезков OA
, OB
и OC
параллельно сторонам треугольника, отсекают от него три треугольника, подобных данному. Докажите, что сумма трёх соответствующих линейных элементов этих трёх треугольников равна соответствующему линейному элементу данного треугольника ABC
.
Указание. Примените теорему Жергона (см. задачу 1664).
Решение. Пусть лучи AO
, BO
и CO
пересекают стороны BC
, AC
и AB
треугольника в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно, а прямая, проходящая через середину отрезка AO
параллельно BC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках L
и K
. Пусть треугольник ALK
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом k_{a}
. Аналогично определим коэффициенты k_{b}
и k_{c}
подобия двух других отсечённых треугольников и треугольника ABC
. Тогда
k_{a}=\frac{\frac{1}{2}AO}{AA_{1}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{AO}{AA_{1}},~k_{b}=\frac{1}{2}\cdot\frac{BO}{BB_{1}},~k_{c}=\frac{1}{2}\cdot\frac{CO}{CC_{1}}.
Применяя теорему Жергона (см. задачу 1664), получим, что
k_{a}+k_{b}+k_{c}=\frac{1}{2}\cdot\frac{AO}{AA_{1}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{BO}{BB_{1}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{CO}{CC_{1}}=
=\frac{1}{2}\left(\frac{AO}{AA_{1}}+\frac{BO}{BB_{1}}+\frac{CO}{CC_{1}}\right)=\frac{1}{2}\cdot2=1.
Пусть l
произвольный линейный элемент треугольника ABC
, а l_{a}
, l_{b}
и l_{c}
— соответствующие линейные элементы отсечённых треугольников с вершинами A
, B
и C
соответственно. Тогда
k_{a}+k_{b}+k_{c}=1~\Rightarrow~k_{a}l+k_{b}l+k_{c}l=l~\Rightarrow~l_{a}+l_{b}+l_{c}=l.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Например, если r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, а r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— радиусы вписанных окружностей трёх отсечённых указанным образом треугольников, то r=r_{a}+r_{b}+r_{c}
.