11361. Найдите сумму квадратов расстояний от точек касания вписанной окружности треугольника с его сторонами до центра описанной окружности, если радиус вписанной окружности равен r
, а радиус описанной — R
.
Ответ. 3R^{2}-4Rr-r^{2}
.
Решение. Пусть B_{1}
— середина стороны AC
, а N
, M
и K
— точки касания вписанной окружности со сторонами AC
, BC
и AB
соответственно. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, p
— полупериметр треугольника ABC
, S
— площадь.
Тогда
AN=p-a,~CN=p-c
(см. задачу 219). Из прямоугольных треугольников OB_{1}N
и OAB_{1}
получаем, что
ON^{2}=OB_{1}^{2}+B_{1}N^{2}=(OA^{2}-AB_{1})^{2}+B_{1}N^{2}=
=R^{2}-\frac{b^{2}}{4}+\left(\frac{b}{2}-(p-a)\right)^{2}=R^{2}-\left(\frac{b}{2}-\frac{b}{2}+p-a\right)\left(\frac{b}{2}+\frac{b}{2}-p+a\right)=
=R^{2}-(p-a)(b+p-a)=R^{2}-(p-a)(p-c).
Аналогично,
OM^{2}=R^{2}-(p-b)(p-c),~OK^{2}=R^{2}-(p-a)(p-b).
Сложив эти три равенства, получим, что
ON^{2}+OM^{2}+OK^{2}=3R^{2}-((p-a)(p-c)+(p-b)(p-c)+(p-a)(p-b)).
Из равенств S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)
и S^{2}=p^{2}r^{2}
получаем (см. задачи 2730 и 452), что
p(p-a)(p-b)(p-c)=p^{2}r^{2}~\Rightarrow r^{2}=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p},
а из равенств S=pr
и S=\frac{abc}{4R}
(см. задачу 4259) — 4Rr=\frac{abc}{p}
. Кроме того,
(p-a)(p-b)(p-c)+abc=p(p^{2}-p(a+b+c)+ab+bc+ac)=
=p((p-a)(p-b)+(p-b)(p-c)+(p-a)(p-c)),
так как
(p-a)(p-b)(p-c)+abc=p^{3}-p^{2}(a+b+c)+p(ab+bc+ac)-abc+abc=
=p(p^{2}-p\cdot2p+ab+bc+ac)=p(p^{2}-2p^{2}+ab+ac+bc)=p(ab+bc+ac-p^{2})
и
p((p-a)(p-b)+(p-b)(p-c)+(p-a)(p-c))=
=p(3p^{2}-2p(a+b+c)+ab+bc+ac)=
=p(3p^{2}-2p\cdot2p+ab+bc+ac)=p(3p^{2}-4p^{2}+ab+bc+ac)=
=p(ab+bc+ac-p^{2}).
Следовательно,
ON^{2}+OM^{2}+OK^{2}=
=3R^{2}-((p-a)(p-c)+(p-b)(p-c)+(p-a)(p-b))=
=3R^{2}-\frac{(p-a)(p-b)(p-c)+abc}{p}=
=3R^{2}-\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}-\frac{abc}{p}=3R^{2}-r^{2}-4Rr.