11366. На сторонах треугольника как на диаметрах построены окружности. Отрезки общих внешних касательных к этим окружностям равны m
, n
и k
. Найдите периметр и площадь треугольника.
Ответ. 2p=2\left(\frac{kn}{m}+\frac{mk}{n}+\frac{mn}{k}\right)
, S=\sqrt{k^{2}n^{2}+m^{2}k^{2}+m^{2}n^{2}}
.
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
и AB=c
— стороны треугольника ABC
, полупериметр треугольника равен p
, площадь равна S
, отрезок общей внешней касательной к окружностям с диаметрами AB
и AC
равен m
. Тогда (см. задачу 385)
\left(\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}AB\right)^{2}+m^{2}=\left(\frac{BC}{2}\right)^{2},~\mbox{или}~\left(\frac{b}{2}-\frac{c}{2}\right)^{2}+m^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2},
откуда
\frac{a^{2}-(b-c)^{2}}{4}=m^{2},~\mbox{или}~(p-b)(p-c)=m^{2}.
Аналогично,
(p-a)(p-c)=k^{2},~(p-c)(p-a)=n^{2}.
Перемножив два последних равенства и разделив результат на первое, найдём, что p-c=\frac{kn}{m}
. Аналогично, p-b=\frac{mk}{n}
и p-c=\frac{mn}{k}
. Следовательно,
p-a+p-b+p-c=\frac{kn}{m}+\frac{mk}{n}+\frac{mn}{k},~\mbox{или}~p=3p-2p=\frac{kn}{m}+\frac{mk}{n}+\frac{mn}{k}.
Кроме того, из доказанных равенств следует, что
(p-a)(p-b)(p-c)=kmn.
Пусть S
— искомая площадь треугольника. По формуле Герона
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{\left(\frac{kn}{m}+\frac{mk}{n}+\frac{mn}{k}\right)\cdot kmn}=
=\sqrt{k^{2}n^{2}+m^{2}k^{2}+m^{2}n^{2}}.