1137. Высоты треугольника ABC
, проведённые из вершин B
и C
пересекаются в точке M
. Известно, что BM=CM
. Докажите, что треугольник ABC
— равнобедренный.
Указание. Воспользуйтесь признаком равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.
Решение. Пусть BD
и CE
— высоты треугольника ABC
. Треугольник BMC
равнобедренный, поэтому \angle CBM=\angle BCM
, значит, прямоугольные треугольники CBD
и CBE
равны по гипотенузе и острому углу. Поэтому \angle ACB=\angle ABC
. Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный.