11379. В остроугольном треугольнике ABC
через вершину A
проведена прямая l
, перпендикулярная медиане, выходящей из вершины A
. Продолжения высот BD
и CE
треугольника пересекают прямую l
в точках M
и N
. Докажите, что AM=AN
.
Решение. Первый способ. Пусть AT
— медиана треугольника ABC
. Обозначим \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}
, \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{u}
и \overrightarrow{AN}=\overrightarrow{v}
. Тогда
\overrightarrow{AT}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
(см. задачу 4500).
Прямая MN
перпендикулярна медиане, следовательно,
\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=0.
С другой стороны, BM\perp AC
и CN\perp AB
, поэтому
(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{u})\cdot\overrightarrow{c}=0,~(\overrightarrow{v}-\overrightarrow{c})\overrightarrow{b}=0.
Складывая три полученных равенства, получаем, что
(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot\overrightarrow{b}=0,
что возможно только если вектор \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}
нулевой, поскольку прямая MN
не перпендикулярна стороне AB
(иначе, лучи AB
и AT
совпадут). Следовательно, AM=AN
.
Второй способ. Пусть AT
— медиана треугольника ABC
. На продолжениях отрезков CA
и NA
за точку A
отложим отрезки AC'
и AN'
соответственно равные AC
и AN
. Тогда C'N'\parallel CN
, поэтому C'N'\perp AB
. С другой стороны, BM\perp AC'
, так как AC'
и AC
— это одна и та же прямая.
Кроме того, l\perp BC'
. Это следует из того, что прямая l
перпендикулярна AT
, а AT
— средняя линия треугольника BCC'
, AT\parallel BC'
.
Прямые l
и AB
, содержащие высоты треугольника BC'N'
, пересекаются в точке A
, поэтому прямая C'A
(т. е. AC
) содержит третью высоту этого треугольника (см. задачу 1256). Тогда BN'\perp AC
, а так как по условию BM\perp AC
, то прямые BN'
и BM
, а значит, и точки N'
и M
, совпадают. Следовательно,
AM=AN'=AN.