11389. В равнобедренном треугольнике ABC
боковые стороны AB
и BC
равны a
. На основании AC
взяты такие точки K
и M
, для которых \angle KBM=90^{\circ}
. Найдите BM
, если \frac{1}{AM}=\frac{1}{MK}+\frac{1}{MC}
.
Ответ. \frac{a}{\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть точка K
лежит между C
и M
, а BD
— высота треугольника ABC
. Обозначим BM=x
, DM=y
Отрезок BD
— высота прямоугольного треугольника KBM
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому BM^{2}=DM\cdot KM
(см. задачу 2728), откуда
KM=\frac{BM^{2}}{DM}=\frac{x^{2}}{y}.
Тогда
AD=DC=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{AB^{2}-(BM^{2}-DM^{2})}=\sqrt{a^{2}-x^{2}+y^{2}},
AM=AD-DM=\sqrt{a^{2}-x^{2}+y^{2}}-y,~
MC=CD+DM=\sqrt{a^{2}-x^{2}+y^{2}}+y.
По условию задачи
\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}+y^{2}}-y}=\frac{y}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}+y^{2}}+y}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}+y^{2}}-y}-\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}+y^{2}}+y}=\frac{y}{x^{2}}~\Leftrightarrow~\frac{2y}{a^{2}-x^{2}}=\frac{y}{x^{2}},
откуда x=\frac{a}{\sqrt{3}}
.