11392. Угол при большем основании AD
равнобедренной трапеции ABCD
равен 60^{\circ}
, диагональ равна \sqrt{3}
. Точка M
удалена от вершин A
и D
на расстояния 1 и 3 соответственно. Найдите MC
.
Ответ. \sqrt{7}
.
Решение. Заметим, что
AM+AD\geqslant MD~\Rightarrow~AD\geqslant MD-AM=3-1=2.
С другой стороны, если d
— диаметр окружности, описанной около трапеции, то
d=\frac{AC}{\sin\angle ADC}=\frac{AC}{\sin60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2
(см. задачу 23), поэтому AD\leqslant2
(см. задачу 3536). Значит, AD=2
, точка M
лежит на продолжении отрезка AD
за точку A
, а AD
— диаметр окружности, описанной около трапеции ABCD
.
Пусть CH
— высота трапеции. Точка C
лежит на окружности с диаметром AD
, значит,
\angle ACD=90^{\circ},~CD=1,~CD=\frac{1}{2}AD=1.
По теореме косинусов находим, что
CM^{2}=CD^{2}+DM^{2}-2CD\cdot DM\cos60^{\circ}=1+9-1\cdot3=7.
Следовательно, CM=\sqrt{7}
.