11394. В параллелограмме площади S
проведены биссектрисы его внутренних углов. Площадь четырёхугольника, получившегося при их пересечении, равна Q
. Найдите отношение сторон параллелограмма.
Ответ. \frac{S+Q+\sqrt{Q^{2}+2SQ}}{S}
.
Указание. См. задачи 1383 и 1418.
Решение. Пусть соседние стороны параллелограмма равны a
и b
, а угол между ними равен \alpha
. Тогда S=ab\sin\alpha
. Четырёхугольник, получившийся при пересечении указанных биссектрис, — прямоугольник со сторонами |a-b|\sin\frac{\alpha}{2}
и |a-b|\cos\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 1418), поэтому Q=\frac{1}{2}(a-b)^{2}\sin\alpha
. Значит,
\frac{Q}{S}=\frac{(a-b)^{2}}{2ab},~Sb^{2}-2ab(S+Q)+Sa^{2}=0,~b=\frac{a(S+Q\pm\sqrt{Q^{2}+2QS})}{S}.
Следовательно, если b\gt a
, то
\frac{b}{a}=\frac{S+Q+\sqrt{Q^{2}+2QS}}{S}\gt1,
а если b\lt a
, то
\frac{b}{a}=\frac{S+Q-\sqrt{Q^{2}+2QS}}{S}\lt1.
В этом случае
\frac{a}{b}=\frac{S+Q+\sqrt{Q^{2}+2QS}}{S}.