11410. Окружность S
, вписанная в треугольник ABC
, касается стороны AC
в точке K
. Докажите, что оба центра окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABK
, а другая — в треугольник CBK
, не могут одновременно лежать на окружности S
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, вписанных в треугольники ABK
и CBK
соответственно.
Предположим, что точки O_{1}
и O_{2}
лежат на окружности S
с центром O
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO_{1}
и AO
— биссектрисы угла BAC
. Значит, точки A
, O_{1}
и O
лежат на одной прямой. Аналогично, на одной прямой лежат точки C
, O_{2}
и O
.
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, значит, треугольник O_{1}KO_{2}
прямоугольный с прямым углом при вершине K
. Тогда O_{1}O_{2}
— диаметр окружности S
, т. е. O
— середина O_{1}O_{2}
. Значит, точки O_{1}
, O_{2}
и O
также лежат на одной прямой. Следовательно, все пять точек A
, C
, O_{1}
, O_{2}
и O
лежат на одной прямой, что невозможно.