11420. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AB
и BC
в точках E
и F
соответственно. Точки M
и N
— основания перпендикуляров, опущенных из точек соответственно A
и C
на прямую EF
. Докажите, что если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию и AC
средняя сторона, то ME+FN=EF
.
Решение. Из условия задачи следует, что AC=\frac{1}{2}(AB+BC)
. Пусть P
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины B
на прямую EF
. Треугольник EBF
равнобедренный, поэтому P
— середина отрезка EF
. Из подобия треугольников AME
и BPE
получаем, что \frac{ME}{EP}=\frac{AE}{BE}
. Аналогично, \frac{NF}{FP}=\frac{CF}{BF}
.
Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны AC
в точке K
. Учитывая, что
AE+CF=AK+CK=AC=\frac{1}{2}(AB+BC)
и
BE+BF=AB+BC-(AE+CF)=AB+BC-(AK+CK)=
=AB+BC-AC=2AC-AC=AC,~\mbox{т. е.}~BE=BF=\frac{1}{2}AC,
получим
\frac{ME+NF}{EF}=\frac{ME+NF}{2EP}=\frac{1}{2}\left(\frac{ME}{EP}+\frac{NF}{FP}\right)=
=\frac{1}{2}\left(\frac{AE}{BE}+\frac{CF}{BF}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{AE+CF}{BE}=\frac{1}{2}\cdot\frac{AC}{BE}=\frac{1}{2}\cdot\frac{AC}{\frac{1}{2}AC}=1.
Следовательно, ME+FN=EF
.